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（本文将介绍了CRC相关的一些基础知识，并用CRC3为例推导了CRC的部分原理）
CRC是CyclicRedundancyCheck的缩写，是一种通过额外冗余bit来检查数据完整性的一种方法。一个比较容易类比的方法就是除法操作。例如我们有数据512，我们将512除以11得到46余数是6。那么我们可以将6作为校验信息一起传递给对方。接收端收到512和校验信息6后，也做相同的除法操作，如果得到的余数与收到的校验信息一致，我们认为收到的数据大概率是完整的。
我们将十进制转换成二进制，重新看一遍过程，原始数据是
10 0000 0000/1011 = 100 0110 余 110
接收端使用收到的数据进行除法操作，将会得到：
10 0001 0000/1011 = 100 1000 余 0
那么这个校验信息就不一样了，所以接收端认为数据或者校验信息在传输过程中可能出现了错误。
为了使得校验比较方便，我们可以将需要校验的信息放在数据的后面。由于除数是11（1011b），余数有可能是0（0000b）到10（1010b），所以我们可以将原数据向左移4位，空出来的空间存放校验信息。左移4位相当于把原数据乘以了24，即十进制的16。
不难算出，只要将8192加上3，这个新的数就可以被11整除。
所以我们可以将3作为这个原数据的校验信息，并放在原数据的后面一起传送，即：
如果接收端接收到的数据无法被11整除，即有余数，那么证明接收到的内容可能在传输过程中被修改了。
并不能被11整除，所以内容可能在传输过程中被修改了。
我们仔细观察会发现，原本的信息是可以被11整除的，多出来的部分是由于某个bit反转而引起的，我们单独将该信息拿出来，可以得到：
也是余3，是不是发现了什么？没有错，导致最后整个信息不整除的主要原因，是因为反转的bit与其所在的位置所表达的数不能够被11整除。
因为我们在数字世界传送信息的时候大部分都是01表示的二进制代码，所以信息中有任意一个bit被反转，都是2的多少次幂。所以只要除数不是偶数且不是1就可以检测出任意一个bit的错误。例如3（11b），5（101b），7（111b）等等。
由于除法操作可能需要借位，在实际的CRC计算中，采用的是异或（XOR）操作而避免了借位。同样的，如果数据仍然是10 0000 0000b，而‘除数’是1011b，这个‘除数’也被称之为二项式（polynomial），也可以表达成 X3+X+1。
那么我们一样将原数据左移，只不过这次我们只移动3位且补0，因为不使用减法操作，只要异或完的结果少于4位，我们就把那3位数作为‘余数’。具体操作如下：
1 0000 0000 0000b，然后用1011b作为‘除数’：
其实就是相同就是0，不一样就是1。下面是长除的整个过程：
1011100101
1011/1000000000000
1011
1100
1011
1110
1011
1010
1011
1000
1011
1100
1011
111 ----------‘余数’
这里可以看到我们得到的‘余数’与实际的除法得到的余数有所不同，那么使用这种方式有什么好处呢？
这个‘余数’被称为CRC3的值，作为校验信息可以直接替换掉数据的最后3位，这3位是原数据左移后，补了0的3个位置。当计算出CRC3的值后，可以直接把111b添加在后面，即：
因为异或的原因，这个数正好可以被1011b通过长除的方法整除，便利性与传统除法来说要好不少，大家可以参考前面标红的那句话。另外就是异或操作在数字设计中也比较容易实现。
接下来我们继续分析一下检错能力，前面提到设计过的二项式可以保证任意一个bit反转都可以被检测出来。如果需要保证连续相邻的两个bit都反转了也可以被检测出来怎样设计呢？那我们可以分析一下连续两个bit都反转的情况，错误信息的规律。例如我们可以用Xn+Xn-1来表示连续两个bit都反转的情况。因为原来的两个bit与11b进行异或都会取反，所以我们可以用Xn+Xn-1来表示11b并处在任意的位置。通过提取公因数得到：
所以我们设计的二项式只要不能被X+1整除，那么连续两个bit的错误信息就无法被该二项式整除。因此类似X2+1 或者X3+1这种二项式就是不错的选择。
Reference：
http://users.ece.cmu.edu/~koopman/crc/
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